I. En el siguiente modelo, ¿qué fórmulas son verdaderas y cuáles falsas? [3 puntos]

U = {0, 1, 2}

I (a) = 0 I (b) = 1 I (P) = {0, 1} I (Q) = {2}

I (R) = {<0, 1>, <1, 0>} I (S) = {<2, 2>}

1. "x (x = a v x = b → Px) V

2. Ø Qa V

3. Pb & Pa V

4. "xy (Px & Py & x ≠ y ↔ Rxy) V

5. "x (ØPx → Sxx) V

6. a = b F

7. $x (Px & Sxx) F

8. ØPb → "xy Rxy V

9. Rab & Rba V

10. $xy (Qx & Qy & x ≠ y) F

II. Da una interpretación que muestre la independencia de 5 con respecto a 1, 2, 3 y 4. Otra que muestre la independencia de 3 con respecto a 1, 2, 4 y 5. [2 puntos]

1. $xyz (x ≠ y & y ≠ z & x ≠ z)

2. $xy (Px & Py & x ≠ y)

3. "x (Px → Rxx)

4. ØRaa

5. Pa

Soluciones:

II.A [interpretación que satisface 1, 2, 3 y 4 y no satisface 5]

U = {0, 1, 2}

I (P) = {0, 1}

I (R) = {<0,0>, <1,1>}

I (a) = 2

II.B [interpretación que satisface 1, 2, 4, 5 y no satisface 3]

U = {0, 1, 2}

I (P) = {0, 1}

I (R) = Ø

I (a) = 0

III. Da una interpretación que muestre la independencia de 2 con respecto a 1. [1’5 puntos]

1. "x $y Ryx

2. $y "x Ryx

Solución:

U = {0, 1}

I (R) = {<0,0>, <1,1>}

IV. Estas tres fórmulas son todas independientes de las otras. Da tres interpretaciones que muestren la independencia de cada una respecto de las demás. [2 puntos]

1. "xyz (Rxy & Ryz → Rxz)

2. "xy (Rxy & Ryx → x = y)

3. "xy (Rxy v Ryx)

Soluciones:

IV.A [interpretación que satisface 1, 2 y no satisface 3]

U = {0}

I (R) = Ø

IV.B [interpretación que satisface 1, 3 y no satisface 2]

U = {0, 1}

I (R) = {<0,0>, <0,1>, <1,0>, <1,1>}

IV.C [interpretación que satisface 2, 3 y no satisface 1]

U = {0, 1, 2}

I (R) = {<0,0>, <1,1>, <2,2>, <0,1>, <1,2>, <2,0>}

V. Estas cuatro fórmulas son independientes entre sí. Ofrece cuatro interpretaciones que muestren la independencia de cada una respecto de las demás. [3 puntos]

1. $y ("x (Sx & Gx ↔ x = y) & y = a)

2. "x (Sx & x ≠ a → Rax)

3. $x (Sx & Gx & Rbx)

4. "xy (Rxy → ØRyx)

Soluciones:

V.A [interpretación que satisface 1, 2, 3 y no satisface 4]

U = {0}

I (a) = 0

I (b) = 0

I (S) = {0}

I (G) = {0}

I (R) = {<0,0>}

V.B [interpretación que satisface 1, 2, 4 y no satisface 3]

U = {0, 1}

I (a) = 0

I (b) = 1

I (S) = {0}

I (G) = {0}

I (R) = Ø

V.C [interpretación que satisface 1, 3, 4 y no satisface 2]

U = {0, 1}

I (a) = 0

I (b) = 1

I (S) = {0, 1}

I (G) = {0}

I (R) = {<1,0>}

V.D [interpretación que satisface 2, 3, 4 y no satisface 1]

U = {0, 1}

I (a) = 1

I (b) = 1

I (S) = {0, 1}

I (G) = {0}

I (R) = {<1,0>}